Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan)

. materi pelajaran matematika : Barisan Bilangan dan Deret Bilangan (Pengertian, Rumus dan contoh soal beserta pembahasannya). Silakan disimak selengkapnya..

Pengertian Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah urutan suatu bilangan yang mempunyai aturan tertentu.

Contoh Barisan bilangan :

      1)       2,      6 ,      10,    14,…

Aturan pembentukannya adalah “ ditambah 4”

Dua suku berikunya adalah  18 dan 22.

      2)      1,     2,      5,     10,…

Aturan pembentukannya adalah “ ditambah bilangan ganjil berurutan “

Dua suku berikutnya adalah 17 dan 26

      3)      2,   6,  18,  54, ….

Aturan pembentukannya adalah “dikalikan 3”

Dua suku berikutnya adalah 162 dan 486

      4)     96,    48,    24,   12, …

Aturan pembebtukannya adalah “ dibagi 2”

Dua suku berikutnya adalah 6 dan 3

      5)     1,   1,   2,   3,   5,  …

Aturan pembentukannya adalah “ suku berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua suku di depannya “. Dua suku berikutnya adalah (3+5)=8 dan (5+8) = 13. Barisan bilangan 1,1,2,3,5,8,,…… disebut barisan Fibonacci

Macam-macam barisan bilangan :

1.  Barisan dan Deret Aritmetika

a. Barisan Aritmetika

Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang mempunyai beda (selisih) yang sama/tetap.

Suku-sukunya dinyatakan dengan rumus :

U1, U2, U3, ….Un

a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b

Selisih (beda) dinyatakan dengan b

b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1

Suku ke n barisan aritmetika (Un) dinyatakan dengan rumus:

Un = a + (n-1) b

Keterangan:

Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …

a = suku pertama →U1 = a

b = selisih/beda

Contoh soal :

1. Tentukan suku ke 15 barisan 2, 6, 10,14,…

Jawab:

n = 15

b = 6-2 = 10 – 6 = 4

U1 = a = 2

Un = a + (n-1) b

U15 = 2 + (15-1)4

= 2 + 14.4

= 2 + 56 = 58

b. Deret Aritmetika

Deret Aritmetika adalah jumlah suku-suku pada barisan aritmetika.

Bentuk umum deret aritmetika:

a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + …+ (a+(n-1)b )

Jumlah suku sampai suku ke n pada barisan aritmetika dirumuskan dengan:

Sn = (2a + (n-1) b ) atau Sn = ( a + Un )

Contoh soal Deret Aritmetika :

Suatu deret aritmetika 5, 15, 25, 35, …

Berapa jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika tersebut?

Jawab:

n = 10

U1 = a = 5

b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

Sn = (2a + (n-1) b )

S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)

= 5 ( 10 + 9.10)

= 5 . 100 = 500

2.      Barisan dan Deret Geometri

a. Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa perkalian yang mempunyai rasio yang sama/tetap.

Suku-sukunya dinyatakan dengan:

U1, U2, U3, ….Un

a, ar, ar2, ar3, …., arn – 1

Rasio dinyatakan dengan r :

r = U_n/U_n-1

Suku ke n barisan Geometri (Un) dinyatakan dengan rumus:

Un = a . r n – 1

Keterangan:

Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …

a = suku pertama→U1 = a

r = rasio

Contoh soal Barisan Geometri :

Suku ke 10 dari barisan 2, 4, 8, 16, 32, … adalah….

Jawab:

n = 10

a = 2

r = 2

Un = a . r n – 1

U10 = 2 . 210 – 1

= 2 . 29

= 210 = 1.024

b. Deret Geometri

Deret Geometri adalah jumlah suku-suku pada barisan geometri.

Jika U₁, U₂, U₃, ... U_n merupakan barisan geometri maka U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n adalah deret geometri dengan U_n = ar^n–1. Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut.

Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama.

S_n = U₁ + U₂ + ... + U_n

S_n = a + ar + ... + ar^n–2 + ar^n–1 .............................................. (1)

Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh :

rS_n = ar + ar² + ar³ + ... + ar^n–1 + arⁿ ................................... (2)

Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh :

rSn =		ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn
Sn =	a +	ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1	-
rSn - Sn =	–a + arn

↔ (r – 1)S_n = a(r^n–1)

↔ S_n = 

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.

S_n =  , untuk r > 1

S_n =  , untuk r < 1

Keterangan: 

S_n = jumlah n suku pertama

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

Apa yang terjadi jika r bernilai 1?

Contoh Soal Deret Geometri:

Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.

a. 2 + 4 + 8 + 16 + ... (8 suku)

b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ... (6 suku)

Pembahasan :

a. 2 + 4 + 8 + 16 + ...

Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1).

Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.

S_n =  ↔ S₈ =  = 2(256 – 1) = 510

Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.

b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...

Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r =  (r < 1).

Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti n = 6.

S_n =  ↔ S₆ =  = 24(1-  ) = 

Contoh Soal Geometri :

Diketahui deret 3 + 3² + 3³ + ... + 3ⁿ = 363. Tentukan :

a. suku pertama; 

b. rasio;
c. banyak suku.

Penyelesaian :

Deret 3 + 3² + 3³ + ... + 3ⁿ = 363

a. Suku pertama: a = 3

b. Rasio: r = ... = .... = 3

c. Untuk S_n = 363

Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus :

S_n = 

↔ 363 = 

↔ 726 = 3ⁿ⁺¹ – 3

↔ 3ⁿ⁺¹ = 729

↔ 3ⁿ⁺¹ = 36

Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut adalah 5.

Contoh Soal Geometri :

Carilah n terkecil sehingga S_n > 1.000 pada deret geometri 1 + 4 + 16 + 64 + ...

Kunci Jawaban :

Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah n suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut.

S_n = 

Nilai n yang mengakibatkan S_n > 1.000 adalah :

 > 1.000 ↔ 4ⁿ > 3.001

Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh :

log 4ⁿ > log 3.001

↔ n log 4 > log 3.001

↔ n > 

↔ n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai logaritma)

Jadi, nilai n terkecil agar S_n > 1.000 adalah 6.

Baca pula : 

10 Jenis/ Macam Pola Bilangan dan Rumusnya

Demikian materi pelajaran matematika : Barisan Bilangan dan Deret Bilangan (Pengertian, Rumus dan contoh soal beserta pembahasannya). Semoga bermanfaat...